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# Análise Numérica - Trabalho Prático 1
### Diogo Cordeiro | Hugo Sales | Pedro Costa | Ricardo Pimenta

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name: motivacao
class: roomy

# Motivação

Pretende-se usar os métodos de Newton e iterativo simples para determinar um valor aproximado de um zero de

$$x^2 - cos(x)^2$$

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name: 1a
class: compact

# 1.a)
Optamos por implementar o algoritmo pedido em C++ devido à possiblidade da aplicação de
templates e lambdas. Deste modo, foi-nos possível implementar os dois métodos pedidos partindo
de um algoritmo genérico pois a diferença entre o método de Newton
e o método iterativo consiste apenas na fórmula de recorrência. Assim, o método de Newton
pode ser visto como uma forma do método iterativo simples.

        int main() {
        	auto F = [](double x){ return std::pow(x, 2.0) - std::pow(std::cos(x), 2.0); };
        	auto dF = [](double x){ return 2.0 * x + std::sin(2.0 * x); };
        
        	double epsilon = 5.0 * std::pow(10.0, -12.0);
        
        	std::cout << newton(0.8, epsilon, F, dF, 100000) << `\n`;
        }

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name: 1a
class: compact
# 1.a)

        template<typename step_func>
        double find_root(double x0, double epsilon, step_func step, long iter_limit) {
        	double x1 = x0, err;
        	long iter = 1;
        	do {
        		x0 = x1;
        		x1 = step(x0);
        		err = std::abs(x1 - x0);
        	} while(err > epsilon && iter++ < iter_limit);
        	return x1;
        }
        
        template<typename F_t, typename dF_t>
        double newton(double x0, double epsilon, F_t F, dF_t dF, long iter_limit) {
        	return find_root(x0, epsilon,
                                 [&F, &dF](double x0){ return x0 - F(x0)/dF(x0); },
                                 iter_limit);
        }

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name: 1b
class: compact, img-right

# 1.b)

![Gráfico para `\(x \in [-1;1]\)`](./graph.png)

Como `\(\forall{x}: cos^2(x) \in [0:1]\)`, temos que `\(x^2 \geq cos^2(x)\)` para `\(|x| > 1\)`, sabemos que o comportamento de `\(f(x)\)` é dominado pelo comportamento de `\(x^2\)`, a qual só tem duas raízes.

A menor das raízes encontra-se no intervalo `\(]-\infty;0]\)` e a maior destas em `\([0;\infty[\)`.

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name: 1b-cont
class: compact, img-right

# 1.b)

![Gráfico para `\(x \in [0.7;0.8]\)`](./graph_small.png)

Através da análise do gráfico, verificamos que o intervalo `\([0.7;0.8]\)` contém uma raíz. Definimos então `\(a = 0.7\)` e `\(b = 0.8\)`.

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name: 1c
class: compact

# 1.c)

Queremos mostrar que as condições de aplicabilidade do método de Newton são satisfeitas no intervalo. Assim,

$$F(x) = x^2 - cos(x)^2$$

$$F'(x) = 2 \cdot x + sin(2 \cdot x)$$

$$F''(x) = 2 + 2 \cdot cos(2 \cdot x)$$

Como todas estas funções são compostas partindo de somas de funções contínuas em `\(\mathbb{R}\)`, são também continuas no intervalo considerado, verificando-se assim o primeiro critério.

Dado que,

$$F(a) < 0, F(b) < 0 \Rightarrow F(a) \cdot F(b) < 0$$

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name: 1c-cont
class: compact

# 1.c)

Verifica-se também o segundo critério.

Temos que `\(F''(x) = 2 + 2 \cdot cos(2 \cdot x)\)`, logo `\(cos(2 \cdot x) \in [-1;1]\)`, por isso `\(2 \cdot cos(2 \cdot x) \in [-2; 2]\)`, e `\(2 \cdot cos(2 \cdot x) + 2 \in [0;4]\)` o que implica que `\(F''(x) \geq 0\)`, para `\(x \in \mathbb{R}\)` e por isso `\(F'(x)\)` é não decrescente em `\(\mathbb{R}\)`, ou seja, `\(F'(b) \geq F'(a)\)` e `\(F'(a) > 3\)` e por isso `\(F'(x) \neq 0 \forall{x} : \in [a;b]\)`, o que verifica o terceiro critério.

Como foi dito anteriormente, `\(F''(x) \geq 0\)` em `\(\mathbb{R}\)` e, por isso, também para `\(\forall{x} :  \in [a;b]\)`, verificando-se a quarta condição.

Para `\(x_0 = b\)`, temos que `\(F(x_0) > 0\)` e `\(F''(x_0) > 0\)`, logo `\(F(x_0) \cdot F''(x_0) > 0\)`, verificando-se a quinta condição.

Então a sucessão gerada converge para a unica raíz no intervalo `\([a;b]\)`.

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name: 1d
class: compact

# 1.d)

Aplicamos o programa apresentado em `\(1.a\)` e obtivemos os seguintes resultados. 

Iterações | Erro estimado | Valor
----------|---------------|---------------
1         | 5.9e-02       | 0.740528800196
2         | 1.4e-03       | 0.739086050826
3         | 9.2e-07       | 0.739085133216
4         | 3.7e-13       | 0.739085133215

Verficamos que o erro estimado é aproximadamente metade do erro estimado da iteração amterior,
o que justificamos com o facto de que o resultado teórico
nos dizer que o erro converge segundo uma secessão de segunda ordem. 

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name: 1e
class: compact

# 1.e)

Aplicando a fórmula

<center>\( M = \frac{1}{2} \cdot \frac{\max \limits_{a \leq x \leq b} | F''(x) | }{\min \limits_{a \leq x \leq b} | F'(x) | } \)</center>

Como `\(F''(x)\)` é decrescente em `\([0;\pi/2]\)`, então `\(\max\limits_{a \leq x \leq b} | F''(x) | = |F''(a)|\)` e como `\(F'(x)\)` é não decrescente em `\(\mathbb{R}\)`, `\(\min\limits_{a \leq x \leq b} | F'(x) | = F'(a)\)`.

Assim, obtemos `\(M = \frac{F''(0.7)}{2F'(0.7)} \leq \frac{2.4}{2 \cdot 2.3} \leq 0.53\)` e
`\(n \geq \frac{ln(\alpha)}{ln(2)}, \alpha = \frac{ln(5 \cdot 10^{-14}) + ln(0.53)}{ln(0.53) + ln(10^{-1})}\)`, logo `\(\alpha \leq \frac{-32}{2.9} \leq 12\)` e `\(n \geq 4\)`, ou seja que com 4 iterações conseguimos um erro absoluto inferior a `\(5 \cdot 10^{-14}\)`.

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name: 2a
class: compact

# 2.a)

Dada a implementação genérica do algoritmo, o método iterativo simples pode ser
implementado sucintamente como:

        template<typename F_t>
        double fixed_point(double x0, double epsilon, F_t f, long iter_limit) {
        	return find_root(x0, epsilon, f, iter_limit);
        }

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name: 2a-cont
class: compact

# 2.a)

e usado como

        auto f = [](double x){ return std::cos(x); };
        std::cout << fixed_point(0.8, epsilon, f, 100000) << `\n`;

A expressão de `\(\texttt{f}\)` foi obtida por manipulação algébrica do seguinte modo:

$$F(x) = 0 \iff x^2 - cos^2(x) = 0 \iff x^2 = cos^2(x) \iff x = \pm cos(x)$$

Logo no intervalo `\([a;b]\)`, temos que `\(x = cos(x)\)` ou seja `\(f(x) = cos(x)\)`.


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name: 2b
class: img-right

![Gŕafico da comparação do erro estimado dos dois métodos](err_fixed_point.png)

# 2.b)

Partindo destes resultados, verificamos empiricameente a diferença na ordem de convergência dos dois métodos.

Obtivemos como valor final para este método o valor `\(0.739085133217\)`, que difere do valor calculado
como o método de Newton em `\(-2 \cdot 10^{-12}\)`, por isso concluimos numericamente que, para os valores iniciais usados, este método pode ser aplicado, sendo que aproxima o valor real.

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name: 2b
class: img-right

![Gŕafico da comparação do erro estimado dos dois métodos](err_fixed_point.png)

# 2.b)

Verificando as condições de aplicabilidade deste método, temos que `\(f(x)\)` é continua em `\([a;b]\)`, verificando-se a primeira condição,
que `\(f(0.7) \approx 0.76484219\)` e `\(f(0.7) \approx 0.69670671\)` o que implica que `\(f([a;b]) \notin [a;b]\)`, o implica que não se verifica a segunda condição
e que `\(\forall x \in [0.7;0.8] : |-sin(x)| < 1\)`, o que significa que se verifica a terceira condição.

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name: 2b
class: img-right

![Gŕafico da comparação do erro estimado dos dois métodos](err_fixed_point.png)

# 2.b)

Apesar de não se verificar a segunda condição, verificamos na mesma a convergência da sucessão, o que não contradiz os resultados teóricos, uma vez que estas condições são suficientes, mas não necessárias para esta convergência.