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class: title, smokescreen, shelf, no-footer
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# Análise Numérica - Trabalho Prático 4
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### Diogo Cordeiro, Hugo Sales, Pedro Costa, Ricardo Pimenta
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class: roomy
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# Motivação
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Pretende-se compreender o funcionamento conceptual bem como os desafios da implementação de dois métodos numéricos: `Regra de Simpson` e `Regra dos Trapézios.`
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class: img-right
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.center[]
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# 1
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Através da análise do gráfico, verificamos que o majorante, em valor absoluto, da 4ª derivada
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da função é menor que 12, este valor é usado para majorar a formula do erro para o calculo de n.
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class: compact
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# Simpson
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Função que implementa o método de Simpson
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double simpson (Function f, double a, double b, int n)
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{
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// Intervalo de passo
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double h = (b - a)/n;
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// Valor de f nos pontos de indice par
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double evens = summation(f, 2, n - 2, 2, h, a);
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// Valor de f nos pontos de indice impar
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double odds = summation(f, 1, n - 1, 2, h, a);
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// Aplicação da método de Simpson
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value = (h/3)*(f(a) + f(b) + 2 * evens + 4 * odds);
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}
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class: compact
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# Summation
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Função para calcular o sumatório de F entre os pontos de indice `init` e stop saltando `step` pontos, usando `h` como intervalo de passo
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double summation (Function f, int init, int stop, int step, double h, double a)
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{
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// Acumulador
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double total = 0;
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for (int i = init; i <= stop; i += step) {
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// Adicionamos o valor de f correspondente ao x de indice i
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total += f(a + i * h);
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}
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return total;
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}
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class: compact
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# calculateN
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Função para calcular o número de pontos necessários para o calculo do integral com erro menor que error
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int calculateN (double A, double B, double error) {
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int n = ceil( (B - A) / pow((15.0 * error) / 2.0, 1.0 / 4) );
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return n + (n % 2);
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}
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class: compact
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# main
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void main ()
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{
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Function f(x) = sin(sin(sin(sin(x))));
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// com 7 casas decimais correctas
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print(simpson(f, 0, 2, calculateN(0, 2, pow(10, -7))));
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// com 12 casas decimais correctas
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print(simpson(f, 0, 2, calculateN(0, 2, pow(10, -12))));
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}
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class: roomy
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<style>
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table td {
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background: inherit;
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border-radius: .5em;
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color: #000;
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}
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</style>
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#### Output
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Erro | Resultado
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---------------|-------------------
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$$ 10^{-7} $$ | 1.0548418906594816
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$$ 10^{-12} $$ | 1.0548418772492483
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class: compact
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### 2)
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// Valor exacto do integral calculado com o WolframAlpha, arredondado
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// com 15 algarismos significativos, um a mais do que o erro majorado
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// máximo para o caso de 2^20 pontos.
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double I = 1.05484187724912;
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/* Função para calcular o integral recorrendo ao método do Trapézio */
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double trapezio (Function f, double a, double b) {
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// Acumulador
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double summation = 0;
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// Intervalo de passo com n inicial = 2
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double h = (b - a)/2;
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// Valor constante
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double fa_fb = f(a) + f(b);
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class: compact
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### 2)
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// Para cada expoente de 1 a 20 (com passo 1)
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for (int k = 1; k <= 20; ++k) {
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// Guarda sumatorio dos pontos anteriores
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double partial_sum = 0;
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// Número de intervalos
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// Com o left shift fazemos a potência de 2^k
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int n = 1 << k;
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// Evitamos recalcular pontos da função previamente computados
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// guardando o sumatório destes em partial_sum e adicionamos a cada
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// iteração os pontos novos, sendo estes de indice impar
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for (int i = 1; i < n; i += 2) {
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// Adicionamos o valor de f correspondente ao x de indice i
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partial_sum += f(a + i * h);
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}
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summation += partial_sum;
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class: compact
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### 2)
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// Aplicação da formula do Trapézio
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double value = (h/2)*fa_fb + h * summation;
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print(k + "\t| " + value + "\t| " + (I - value));
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// Dividimos o intervalo por 2
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h /= 2;
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}
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}
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void main () {
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Function f(x) = sin(sin(sin(sin(x))));
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print(trapezio(f, 0, 2);
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}
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class: compact
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<style>
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table td {
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background: inherit;
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border-radius: .5em;
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|
color: #000;
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|
}
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</style>
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#### Output
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k | $$ I_{n_{k}} $$ | $$ \mid I - I_{n_{k}} \mid $$
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----|---------------------|--------------------------
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1 | 0.9533749638740736 | $$ 1.1 \cdot 10^{-1} $$
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2 | 1.0308378382617962 | $$ 2.5 \cdot 10^{-2} $$
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3 | 1.0489039934457873 | $$ 6.0 \cdot 10^{-3} $$
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4 | 1.053360809734676 | $$ 1.5 \cdot 10^{-3} $$
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5 | 1.0544718169560368 | $$ 3.8 \cdot 10^{-4} $$
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|
6 | 1.054749374997165 | $$ 9.3 \cdot 10^{-5} $$
|
|
7 | 1.0548187524860693 | $$ 2.4 \cdot 10^{-5} $$
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class: compact
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<style>
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|
table td {
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background: inherit;
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|
border-radius: .5em;
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|
color: #000;
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|
}
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</style>
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|
#### Output
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k | $$ I_{n_{k}} $$ | $$ \mid I - I_{n_{k}} \mid $$
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----|---------------------|--------------------------
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8 | 1.0548360961083287 | $$ 5.8 \cdot 10^{-6} $$
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9 | 1.054840431967042 | $$ 1.5 \cdot 10^{-6} $$
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10 | 1.0548415159287925 | $$ 3.6 \cdot 10^{-7} $$
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11 | 1.0548417869190467 | $$ 9.1 \cdot 10^{-8} $$
|
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12 | 1.0548418546666 | $$ 2.3 \cdot 10^{-8} $$
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13 | 1.054841871603487 | $$ 5.7 \cdot 10^{-9} $$
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14 | 1.0548418758377078 | $$ 1.5 \cdot 10^{-9} $$
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class: compact
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<style>
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table td {
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|
background: inherit;
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|
border-radius: .5em;
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color: #000;
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|
}
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</style>
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#### Output
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k | $$ I_{n_{k}} $$ | $$ \mid I - I_{n_{k}} \mid $$
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----|---------------------|--------------------------
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15 | 1.0548418768962615 | $$ 3.5 \cdot 10^{-10} $$
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16 | 1.0548418771608998 | $$ 8.9 \cdot 10^{-11} $$
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17 | 1.0548418772270582 | $$ 2.3 \cdot 10^{-11} $$
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18 | 1.0548418772436017 | $$ 5.6 \cdot 10^{-12} $$
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19 | 1.0548418772477444 | $$ 1.4 \cdot 10^{-12} $$
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20 | 1.0548418772487873 | $$ 3.3 \cdot 10^{-13} $$
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