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NumericalAnalysisModule/4 - Simpson and Trapezoidal.../slides/text.md

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6.0 KiB
Markdown
Executable File

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# Análise Numérica - Trabalho Prático 4
### Diogo Cordeiro, Hugo Sales, Pedro Costa, Ricardo Pimenta
---
class: roomy
# Motivação
Pretende-se compreender o funcionamento conceptual bem como os desafios da implementação de dois métodos numéricos: `Regra de Simpson` e `Regra dos Trapézios.`
---
class: img-right
.center[![Quarta derivada da função enunciada](imgs/majorante_erro_1.png)]
# 1
Através da análise do gráfico, verificamos que o majorante, em valor absoluto, da 4ª derivada
da função é menor que 12, este valor é usado para majorar a formula do erro para o calculo de n.
---
class: compact
# Simpson
Função que implementa o método de Simpson
double simpson (Function f, double a, double b, int n)
{
// Intervalo de passo
double h = (b - a)/n;
// Valor de f nos pontos de indice par
double evens = summation(f, 2, n - 2, 2, h, a);
// Valor de f nos pontos de indice impar
double odds = summation(f, 1, n - 1, 2, h, a);
// Aplicação da método de Simpson
value = (h/3)*(f(a) + f(b) + 2 * evens + 4 * odds);
}
---
class: compact
# Summation
Função para calcular o sumatório de F entre os pontos de indice `init` e stop saltando `step` pontos, usando `h` como intervalo de passo
double summation (Function f, int init, int stop, int step, double h, double a)
{
// Acumulador
double total = 0;
for (int i = init; i <= stop; i += step) {
// Adicionamos o valor de f correspondente ao x de indice i
total += f(a + i * h);
}
return total;
}
---
class: compact
# calculateN
Função para calcular o número de pontos necessários para o calculo do integral com erro menor que error
int calculateN (double A, double B, double error) {
int n = ceil( (B - A) / pow((15.0 * error) / 2.0, 1.0 / 4) );
return n + (n % 2);
}
---
class: compact
# main
void main ()
{
Function f(x) = sin(sin(sin(sin(x))));
// com 7 casas decimais correctas
print(simpson(f, 0, 2, calculateN(0, 2, pow(10, -7))));
// com 12 casas decimais correctas
print(simpson(f, 0, 2, calculateN(0, 2, pow(10, -12))));
}
---
class: roomy
<style>
table td {
background: inherit;
border-radius: .5em;
color: #000;
}
</style>
#### Output
Erro | Resultado
---------------|-------------------
$$ 10^{-7} $$ | 1.0548418906594816
$$ 10^{-12} $$ | 1.0548418772492483
---
class: compact
### 2)
// Valor exacto do integral calculado com o WolframAlpha, arredondado
// com 15 algarismos significativos, um a mais do que o erro majorado
// máximo para o caso de 2^20 pontos.
double I = 1.05484187724912;
/* Função para calcular o integral recorrendo ao método do Trapézio */
double trapezio (Function f, double a, double b) {
// Acumulador
double summation = 0;
// Intervalo de passo com n inicial = 2
double h = (b - a)/2;
// Valor constante
double fa_fb = f(a) + f(b);
---
class: compact
### 2)
// Para cada expoente de 1 a 20 (com passo 1)
for (int k = 1; k <= 20; ++k) {
// Guarda sumatorio dos pontos anteriores
double partial_sum = 0;
// Número de intervalos
// Com o left shift fazemos a potência de 2^k
int n = 1 << k;
// Evitamos recalcular pontos da função previamente computados
// guardando o sumatório destes em partial_sum e adicionamos a cada
// iteração os pontos novos, sendo estes de indice impar
for (int i = 1; i < n; i += 2) {
// Adicionamos o valor de f correspondente ao x de indice i
partial_sum += f(a + i * h);
}
summation += partial_sum;
---
class: compact
### 2)
// Aplicação da formula do Trapézio
double value = (h/2)*fa_fb + h * summation;
print(k + "\t| " + value + "\t| " + (I - value));
// Dividimos o intervalo por 2
h /= 2;
}
}
void main () {
Function f(x) = sin(sin(sin(sin(x))));
print(trapezio(f, 0, 2);
}
---
class: compact
<style>
table td {
background: inherit;
border-radius: .5em;
color: #000;
}
</style>
#### Output
k | $$ I_{n_{k}} $$ | $$ \mid I - I_{n_{k}} \mid $$
----|---------------------|--------------------------
1 | 0.9533749638740736 | $$ 1.1 \cdot 10^{-1} $$
2 | 1.0308378382617962 | $$ 2.5 \cdot 10^{-2} $$
3 | 1.0489039934457873 | $$ 6.0 \cdot 10^{-3} $$
4 | 1.053360809734676 | $$ 1.5 \cdot 10^{-3} $$
5 | 1.0544718169560368 | $$ 3.8 \cdot 10^{-4} $$
6 | 1.054749374997165 | $$ 9.3 \cdot 10^{-5} $$
7 | 1.0548187524860693 | $$ 2.4 \cdot 10^{-5} $$
---
class: compact
<style>
table td {
background: inherit;
border-radius: .5em;
color: #000;
}
</style>
#### Output
k | $$ I_{n_{k}} $$ | $$ \mid I - I_{n_{k}} \mid $$
----|---------------------|--------------------------
8 | 1.0548360961083287 | $$ 5.8 \cdot 10^{-6} $$
9 | 1.054840431967042 | $$ 1.5 \cdot 10^{-6} $$
10 | 1.0548415159287925 | $$ 3.6 \cdot 10^{-7} $$
11 | 1.0548417869190467 | $$ 9.1 \cdot 10^{-8} $$
12 | 1.0548418546666 | $$ 2.3 \cdot 10^{-8} $$
13 | 1.054841871603487 | $$ 5.7 \cdot 10^{-9} $$
14 | 1.0548418758377078 | $$ 1.5 \cdot 10^{-9} $$
---
class: compact
<style>
table td {
background: inherit;
border-radius: .5em;
color: #000;
}
</style>
#### Output
k | $$ I_{n_{k}} $$ | $$ \mid I - I_{n_{k}} \mid $$
----|---------------------|--------------------------
15 | 1.0548418768962615 | $$ 3.5 \cdot 10^{-10} $$
16 | 1.0548418771608998 | $$ 8.9 \cdot 10^{-11} $$
17 | 1.0548418772270582 | $$ 2.3 \cdot 10^{-11} $$
18 | 1.0548418772436017 | $$ 5.6 \cdot 10^{-12} $$
19 | 1.0548418772477444 | $$ 1.4 \cdot 10^{-12} $$
20 | 1.0548418772487873 | $$ 3.3 \cdot 10^{-13} $$